귀하의 상담 잘 보았습니다.
병원측에서 산재 처리를 해주지 않는다는 것은 당해 병원이 산재지정병원이 아니라서 그런 것이며, 이 경우에는 근로복지 공단에서 산재승인을 받아 요양비 신청을 할때 진료비 내역서 등을 공단에 제출하시면 후에 지급받으실 수 있습니다.

그러나 그에 앞서..
출퇴근 중에 발생한 재해에 대해서는 일반적으로 산재로 인정하지 않는 것이 일반적이며, 다음 경우에 해당할 경우에는 예외로 하고 있습니다.
1. 사용자가 제공한 교통수단의 이용중에 발생한 사고일 것.
2. 사업주가 제공한 교통수단에 대한 관리/이용권이 근로자 측에 전담되어 있지 아니할 것.